Teste de Bartlett
O teste de Bartlett verifica se dois ou mais grupos têm variâncias populacionais iguais, exatamente a mesma pergunta do teste de Levene, mas ele assume que os dados são distribuídos normalmente dentro de cada grupo, diferentemente do teste de Levene, que não faz essa suposição. Quando a normalidade genuinamente se mantém, Bartlett é mais poderoso; quando não se mantém, Bartlett se torna pouco confiável, propenso a falsos positivos. Ele também generaliza o teste F de dois grupos para qualquer número de grupos.
Hipóteses
\[H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2\]
\[H_1: \text{pelo menos um } \sigma_i^2 \text{ difere}\]
As mesmas hipóteses do teste de Levene, apenas as suposições e a estatística do teste diferem.
Estatística do teste de Bartlett
A estatística compara a variância de cada grupo com a variância combinada de todos os grupos, ponderada pelos graus de liberdade:
\[B = \frac{(N-k)\ln(S_p^2) - \sum_{i=1}^k (n_i-1)\ln(S_i^2)}{C}\]
em que a variância combinada é \(S_p^2 = \frac{\sum_i (n_i-1)S_i^2}{N-k}\), e \(C = 1 + \frac{1}{3(k-1)}\left(\sum_i \frac{1}{n_i-1} - \frac{1}{N-k}\right)\) é um fator de correção para amostras pequenas. Sob \(H_0\), \(B \sim \chi^2(k-1)\) aproximadamente.
Exemplo resolvido: mesmos dados do post do teste de Levene
Reutilizar exatamente as mesmas três máquinas permite comparar o resultado de Bartlett diretamente com o de Levene nos mesmos dados.
Três máquinas produzem 5 unidades cada; engenheiros de qualidade medem uma dimensão (mm) para verificar se as máquinas são igualmente consistentes:
- Máquina A: 23, 25, 24, 26, 22 (\(s_A^2 = 2{,}5\))
- Máquina B: 20, 30, 15, 35, 25 (\(s_B^2 = 62{,}5\))
- Máquina C: 24, 24, 25, 23, 24 (\(s_C^2 = 0{,}5\))
Variância combinada:
\[S_p^2 = \frac{4(2{,}5) + 4(62{,}5) + 4(0{,}5)}{12} = \frac{10+250+2}{12} = 21{,}833\]
Estatística de Bartlett (calculada pela fórmula acima): \(B = 17{,}611\), \(gl = k-1 = 2\), \(\text{valor-p} = 0{,}00015\).
Decisão: rejeitamos \(H_0\) em qualquer nível convencional, a mesma conclusão do teste de Levene nos mesmos dados (que deu \(W = 7{,}438\), \(p = 0{,}00792\)). O valor-p de Bartlett aqui (0,00015) é ainda menor do que o de Levene (0,00792): ambos concordam que as variâncias diferem, mas a estatística de Bartlett reage com mais força aos mesmos dados. Este conjunto de dados específico acontece de estar próximo o suficiente da normalidade para que Bartlett se comporte de forma confiável aqui; a preocupação geral, abordada abaixo, é sobre o que acontece quando não está.
Ambos os testes concordam nesses dados: a dispersão muito maior da Máquina B impulsiona um resultado significativo de qualquer forma.
A verdadeira fraqueza de Bartlett: sensibilidade à não normalidade
Os dados das máquinas acima acabaram sendo bem comportados, mas isso não é garantido, e o teste de Bartlett penaliza desvios de normalidade de forma muito mais severa do que o de Levene.
⚠️ O teste de Bartlett é extremamente sensível à não normalidade
Diferentemente da concordância entre Bartlett e Levene nos dados das máquinas acima, o teste de Bartlett pode dar um resultado significativo enganoso em dados não normais mesmo quando as verdadeiras variâncias populacionais são genuinamente iguais, puramente porque os dados são assimétricos ou de caudas pesadas, e não porque as variâncias realmente diferem. Isso reflete exatamente a mesma fragilidade já documentada para o teste F comum, que também é um teste de variância dependente de normalidade. O teste de Levene, e especialmente sua variante Brown-Forsythe centrada na mediana, foi especificamente desenvolvido para evitar essa armadilha. Sempre verifique a normalidade primeiro (Shapiro-Wilk, ou um gráfico Q-Q) antes de confiar em um resultado do teste de Bartlett; se a normalidade estiver em dúvida, prefira o teste de Levene.
Bartlett vs. Levene vs. o teste F: como escolher
| Teste | Grupos | Exige normalidade | Robustez a outliers |
|---|---|---|---|
| Teste F | Apenas 2 | Sim, estritamente | Baixa |
| Teste de Bartlett | 2 ou mais | Sim, estritamente | Baixa |
| Teste de Levene | 2 ou mais | Não | Moderada a alta |
Regra prática: dados verificados como normais, use Bartlett, a opção mais poderosa quando a suposição realmente se mantém. Dados não normais ou não verificados, use o teste de Levene, o padrão de uso geral mais seguro.
Executando o teste em R
As mesmas três máquinas, testadas com bartlett.test() e comparadas lado a lado com leveneTest() nos mesmos dados:
values <- c(23,25,24,26,22, 20,30,15,35,25, 24,24,25,23,24)
group <- factor(rep(c("A","B","C"), each = 5))
bartlett.test(values ~ group)
# Compare directly against Levene's test on the same data
library(car)
leveneTest(values ~ group)💡 Verifique a normalidade antes de confiar no teste de Bartlett
Antes de executar o teste de Bartlett, verifique a normalidade dentro de cada grupo (Shapiro-Wilk em cada grupo separadamente, ou gráficos Q-Q). Se algum grupo mostrar um desvio claro de normalidade, especialmente assimetria, mude para o teste de Levene em vez disso, e trate qualquer resultado do teste de Bartlett em dados visivelmente não normais com real ceticismo: mesmo um valor-p pequeno pode estar apenas refletindo não normalidade, e não variâncias genuinamente desiguais.
