Distribuição qui-quadrado
A distribuição qui-quadrado surge naturalmente como a distribuição da soma de variáveis normais padrão ao quadrado. É a base dos testes de hipóteses para a variância, dos testes de aderência e dos testes de independência em tabelas de contingência.
Definição
Se \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_\nu\) são variáveis aleatórias normais padrão independentes, então:
\[X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_\nu^2 \sim \chi^2(\nu)\]
\(X\) segue uma distribuição qui-quadrado com \(\nu\) graus de liberdade. Sua PDF é:
\[f(x) = \frac{x^{\nu/2 - 1} e^{-x/2}}{2^{\nu/2}\,\Gamma(\nu/2)}, \quad x > 0\]
A distribuição qui-quadrado é um caso particular da distribuição gama: \(\chi^2(\nu) = \text{Gama}(\nu/2,\, 1/2)\).
A CDF não tem forma fechada e é calculada numericamente. Na prática, os valores críticos são lidos em tabelas qui-quadrado ou calculados com software.
Efeito dos graus de liberdade
Os graus de liberdade \(\nu\) determinam completamente a distribuição:
- \(\nu = 1\) ou \(\nu = 2\): fortemente assimétrica à direita, com a moda em 0 (\(\nu=1\)) ou em \(x=0\) (\(\nu=2\), caso exponencial).
- \(\nu\) pequeno: fortemente assimétrica à direita, com uma cauda direita longa.
- \(\nu\) grande: cada vez mais simétrica, aproximando-se de uma distribuição normal pelo TCL.
Propriedades
Para \(X \sim \chi^2(\nu)\):
- Valor esperado (média)
\[E(X) = \nu\]
- Variância
\[\text{Var}(X) = 2\nu\]
- Assimetria
\[\text{Assimetria} = \sqrt{\frac{8}{\nu}}\]
Sempre positiva. Diminui conforme \(\nu\) aumenta: a distribuição se torna mais simétrica para \(\nu\) grandes.
- Curtose
\[g_2 = \frac{12}{\nu}\]
- Moda
\[\text{Moda} = \max(\nu - 2,\ 0)\]
Para \(\nu \leq 2\), a moda está em 0.
- Função quantil
Não tem forma fechada; é calculada numericamente. Os valores críticos mais comuns estão tabulados nas tabelas qui-quadrado.
💡 Aproximação normal para ν grande
Para \(\nu\) grande, a distribuição qui-quadrado é bem aproximada por uma normal:
\[\chi^2(\nu) \approx N(\nu, 2\nu)\]
Uma aproximação melhor (Wilson-Hilferty) usa a transformação da raiz cúbica:
\[\left(\frac{X}{\nu}\right)^{1/3} \approx N\!\left(1 - \frac{2}{9\nu},\ \frac{2}{9\nu}\right)\]
Essa aproximação é precisa mesmo para \(\nu\) moderados e é o que a maioria dos softwares usa internamente.
Aplicações
Intervalo de confiança e teste para a variância
Se \(S^2\) é a variância amostral de \(n\) observações de uma população \(N(\mu, \sigma)\), então:
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\]
Isso leva a:
- Um intervalo de confiança de \((1-\alpha)\) para \(\sigma^2\):
\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}\right)\]
- Um teste de hipóteses \(H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\) usando a estatística de teste \((n-1)S^2/\sigma_0^2\).
Um laboratório mede 16 amostras de um composto químico. O desvio padrão amostral é \(S = 0{,}08\) mg/L. Construa um IC de 95% para a variância populacional \(\sigma^2\).
Com \(n = 16\) e \(\alpha = 0{,}05\):
- \(\chi^2_{0{,}975,\, 15} \approx 27{,}49\) e \(\chi^2_{0{,}025,\, 15} \approx 6{,}26\).
\[\text{IC} = \left(\frac{15 \times 0{,}0064}{27{,}49},\ \frac{15 \times 0{,}0064}{6{,}26}\right) = (0{,}0035;\, 0{,}0153)\]
O IC de 95% para \(\sigma^2\) é \((0{,}0035;\, 0{,}0153)\) (mg/L)². Para \(\sigma\): \((\sqrt{0{,}0035},\, \sqrt{0{,}0153}) \approx (0{,}059;\, 0{,}124)\) mg/L.
Teste de aderência
A estatística qui-quadrado de Pearson:
\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\]
segue uma distribuição \(\chi^2(k-1)\) sob \(H_0\) (ou \(\chi^2(k-1-p)\) se \(p\) parâmetros foram estimados a partir dos dados). É usada para testar se as frequências observadas correspondem a uma distribuição hipotética.
Teste de independência
Para uma tabela de contingência com \(r\) linhas e \(c\) colunas, a mesma estatística segue \(\chi^2((r-1)(c-1))\) sob independência. Veja o post sobre o teste qui-quadrado de Pearson para mais detalhes.
Figure 1: Distribuição qui-quadrado com 5 graus de liberdade: a região de rejeição a α=0,05 começa no valor crítico 11,07
⚠️ Os testes qui-quadrado exigem frequências esperadas suficientes
Todos os testes qui-quadrado assumem que as frequências esperadas das células são grandes o suficiente para que a aproximação qui-quadrado seja válida. A regra padrão: todas as frequências esperadas \(E_i \geq 5\). Se isso for violado, use testes exatos (teste exato de Fisher para tabelas 2×2, ou testes exatos da distribuição multinomial para testes de aderência).
Exemplo passo a passo: teste para a variância
Uma máquina produz parafusos com uma variância de diâmetro especificada de \(\sigma_0^2 = 0{,}01\) mm². Um engenheiro de qualidade mede 25 parafusos e obtém \(S^2 = 0{,}015\) mm². Há evidência de que a variância aumentou?
\(H_0: \sigma^2 = 0{,}01\) contra \(H_1: \sigma^2 > 0{,}01\) (teste unilateral).
Estatística de teste:
\[\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{24 \times 0{,}015}{0{,}01} = 36\]
Valor crítico com \(\alpha = 0{,}05\) e \(\nu = 24\) gl:
\[\chi^2_{0{,}95,\, 24} \approx 36{,}42\]
Como \(36 < 36{,}42\), não rejeitamos \(H_0\) ao nível de 5%. O p-valor é:
\[p = P(\chi^2_{24} > 36) \approx 0{,}053\]
Pouco acima de 5%. A evidência de um aumento na variância é sugestiva, mas não conclusiva nesse nível de significância.
💡 Relação com outras distribuições
- Gama: \(\chi^2(\nu) = \text{Gama}(\nu/2, 1/2)\).
- Normal: soma de normais padrão ao quadrado; para \(\nu\) grande, \(\chi^2(\nu) \approx N(\nu, 2\nu)\).
- t de Student: se \(Z \sim N(0,1)\) e \(V \sim \chi^2(\nu)\) são independentes, então \(Z/\sqrt{V/\nu} \sim t(\nu)\).
- Distribuição F: razão entre duas variáveis qui-quadrado independentes divididas pelos seus graus de liberdade: \(F(\nu_1, \nu_2) = (\chi^2(\nu_1)/\nu_1) / (\chi^2(\nu_2)/\nu_2)\).
- Exponencial: \(\chi^2(2) = \text{Exp}(1/2)\).
