Lei dos grandes números

A Lei dos Grandes Números (LGN) é a garantia formal por trás de uma intuição que todo mundo já tem: jogue uma moeda algumas vezes e você pode obter uma sequência incomum; jogue um milhão de vezes e a proporção de caras estará extremamente próxima de 50%. É o parente mais próximo do Teorema Central do Limite neste site, mas responde a uma pergunta diferente; este post deixa essa distinção precisa.

A lei fraca dos grandes números

Para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas \(X_1, X_2, \ldots\) com média finita \(\mu\), a média amostral \(\bar{X}_n\) converge em probabilidade para \(\mu\):

Formalmente, para qualquer \(\varepsilon > 0\): \(P(|\bar{X}_n - \mu| > \varepsilon) \to 0\) quando \(n \to \infty\). Em termos simples: por menor que seja a margem \(\varepsilon\) que você escolha, a probabilidade de a média amostral se desviar da média real por mais do que essa margem diminui em direção a zero à medida que a amostra cresce.

Lei fraca vs. lei forte

A lei fraca acima diz que a probabilidade de um desvio grande desaparece à medida que \(n\) cresce, mas em princípio ela ainda permite que a sequência \(\bar{X}_n\) se afaste ocasionalmente de \(\mu\) infinitas vezes, só que com probabilidade cada vez menor em cada \(n\) fixo.

A lei forte é uma garantia mais rigorosa:

\[\bar{X}_n \to \mu \quad \text{quase certamente}\]

Ou seja, com probabilidade 1, a sequência real de médias amostrais converge para \(\mu\) e, a partir de certo ponto, permanece arbitrariamente próxima para sempre, não apenas “provavelmente próxima em cada \(n\)”. Para praticamente qualquer propósito prático neste site, essa distinção não muda como você usaria o resultado, mas é uma distinção matemática real e famosa que vale a pena saber que existe.

Exemplo resolvido: a média móvel de lançamentos de um dado

Um único dado é o caso mais limpo possível: a média real é conhecida exatamente, então qualquer oscilação ou convergência na média móvel é fácil de ver.

Média móvel de lançamentos de um dado convergindo para 3,5

Jogue repetidamente um único dado honesto de seis lados. A média real é \(\mu = 3{,}5\). Acompanhe a média móvel à medida que o número de lançamentos cresce:

set.seed(7)
for (n in c(10, 100, 1000, 10000, 100000)) {
  rolls <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
  # mean(rolls), abs(mean(rolls) - 3.5)
}

Número de lançamentos \(n\)	Média amostral \(\bar{X}_n\)	\(\lvert \bar{X}_n - 3{,}5 \rvert\)
10	3,30	0,20
100	3,43	0,07
1.000	3,538	0,038
10.000	3,5049	0,0049
100.000	3,4979	0,0021

A diferença diminui no geral, mas não de forma suave em cada etapa: o desvio em \(n=1.000\) (0,038) ainda é menor do que em \(n=100\) (0,07), mas, em geral, esse tipo de comparação pode ir em qualquer direção em etapas intermediárias. A LGN nunca promete que cada lançamento adicional torna a média estritamente mais próxima de \(\mu\), apenas que a probabilidade de estar longe de \(\mu\) diminui de forma confiável à medida que \(n\) cresce sem limite. É exatamente isso que significa “convergir em probabilidade”: uma garantia sobre o longo prazo, não uma promessa de melhora suave, passo a passo.

No início, com apenas algumas poucas jogadas, a média móvel oscila muito. À medida que o número de lançamentos cresce para os milhares e além, as oscilações diminuem e a linha se estabiliza bem perto da média real de 3,5.

Lei dos Grandes Números vs. Teorema Central do Limite: a diferença fundamental

Ambos descrevem o comportamento de \(\bar{X}_n\) à medida que \(n\) cresce, mas respondem a perguntas diferentes.

• A LGN diz ONDE \(\bar{X}_n\) termina: ela converge para o único ponto \(\mu\), colapsando para uma massa pontual no limite.
• O TCL diz COMO \(\bar{X}_n\) flutua EM TORNO de \(\mu\) para um \(n\) grande, mas finito: aproximadamente distribuída normalmente, com a dispersão diminuindo como \(\sigma/\sqrt{n}\).

Dito de forma direta: a LGN é uma afirmação sobre a convergência para um ponto; o TCL é um refinamento que descreve a forma e o ritmo dessa convergência. Se você reescalar \(\bar{X}_n - \mu\) por \(\sqrt{n}\), o “colapso para um ponto” da LGN se torna exatamente a distribuição normal do TCL: são duas visões da mesma convergência subjacente em escalas de zoom diferentes.

Requisitos para que a Lei dos Grandes Números valha

As observações precisam ter média finita. Para distribuições com média indefinida ou infinita, a média amostral não converge para nada à medida que \(n\) cresce; ela continua saltando de forma imprevisível, não importa quão grande a amostra fique. Essa é uma exceção genuína, embora pouco comum, que vale a pena saber que existe; a maioria das grandezas do mundo real, com média finita, está seguramente coberta pela LGN.

Executando a simulação em R

A simulação de lançamentos de dado acima vem do acompanhamento de uma única média acumulada enquanto o tamanho da amostra sobe até as dezenas de milhares:

set.seed(7)
n_max <- 100000
rolls <- sample(1:6, n_max, replace = TRUE)
running_mean <- cumsum(rolls) / seq_along(rolls)

# Valor em alguns pontos de controle
running_mean[c(10, 100, 1000, 10000, 100000)]