Regressão vs correlação, qual é a diferença
Correlação e regressão descrevem como duas variáveis se movem juntas, e as pessoas costumam usar os dois termos como sinônimos, mas eles respondem a perguntas diferentes. A correlação pergunta com que força e em que direção duas variáveis estão associadas. A regressão pergunta qual equação prevê uma variável a partir da outra. Este post é o ponto de partida natural antes da regressão linear simples.
Duas perguntas diferentes
O coeficiente de correlação de Pearson \(r\) resume a força e a direção de uma associação linear entre duas variáveis em uma escala de \(-1\) a \(1\), sem nenhuma noção de qual variável, se alguma, causa ou prevê a outra. A regressão, em vez disso, ajusta uma reta (ou uma curva mais complexa) que permite inserir uma variável e obter um valor previsto para a outra. A correlação é um único número simétrico. A regressão é uma equação, e depende de qual variável você escolhe prever.
Exemplo resolvido: horas estudadas e nota da prova
O mesmo pequeno conjunto de dados, calculado como correlação e como regressão, mostra exatamente como os dois números se relacionam.
Uma turma simulada de \(n=30\) alunos registra as horas estudadas e a nota resultante da prova.
Correlação entre horas estudadas e nota: \(r = 0{,}791\).
Regressão da nota sobre as horas, lm(score ~ hours):
| Coeficiente | Estimativa |
|---|---|
| Intercepto | 44,66 |
| Inclinação (horas) | 4,10 |
A reta ajustada é \(\widehat{\text{nota}} = 44{,}66 + 4{,}10 \times \text{horas}\): cada hora extra estudada está associada, em média, a cerca de 4,1 pontos adicionais.
A ponte entre os dois números é direta. Na regressão linear simples, a inclinação é a correlação reescalada pela razão dos desvios padrão:
\[b_1 = r \cdot \frac{s_y}{s_x}\]
Aqui \(s_{\text{horas}} = 2{,}92\) e \(s_{\text{nota}} = 15{,}18\), então \(b_1 = 0{,}791 \times \frac{15{,}18}{2{,}92} = 4{,}10\), exatamente a inclinação ajustada acima. E, especificamente na regressão linear simples, elevar a correlação ao quadrado dá o \(R^2\) do modelo: \(r^2 = 0{,}791^2 = 0{,}625\), exatamente o \(R^2\) que lm() reporta para este modelo.
Principais diferenças estruturais
- Simetria. A correlação é simétrica: \(\text{cor}(x,y) = \text{cor}(y,x)\). A regressão não é: regredir a nota sobre as horas dá uma inclinação de 4,10, mas regredir as horas sobre a nota dá uma inclinação completamente diferente, 0,152, que não é simplesmente seu recíproco (\(1/4{,}10 = 0{,}244\)). Qual variável você chama de preditora e qual chama de resultado muda a equação.
- Unidades. A correlação não tem unidades e está sempre entre \(-1\) e \(1\), independentemente da escala de \(x\) e \(y\). Os coeficientes de regressão carregam as unidades das variáveis: a inclinação aqui é literalmente “pontos por hora”, e muda se você reescalar qualquer uma das variáveis (medir as horas em minutos dividiria a inclinação por 60).
- O que você obtém. A correlação fornece um único número que descreve o quão estreitamente duas variáveis se movem juntas. A regressão fornece uma equação real que você pode usar para gerar uma previsão para uma nova observação.
- Abrangência. A correlação de Pearson simples descreve apenas um par de variáveis. A regressão se generaliza naturalmente para muitos preditores ao mesmo tempo, veja a regressão linear simples e sua extensão para múltiplos preditores.
⚠️ Uma correlação alta não torna uma regressão confiável
Uma correlação forte, e a reta de regressão construída sobre ela, descreve apenas uma associação. Nenhuma das duas indica que as horas estudadas causam o aumento da nota; um terceiro fator (motivação, conhecimento prévio) poderia explicar ambas. É a mesma armadilha por trás de correlações estatisticamente fortes, mas completamente sem sentido, explorada em profundidade em The Correlation Files. Antes de confiar em uma reta de regressão para prever, verifique também se a relação é razoavelmente linear e se nenhum pequeno grupo de pontos está distorcendo o ajuste, veja os diagnósticos de regressão.
Executando em R
Calcular as duas coisas lado a lado, e confirmar que a correlação ao quadrado coincide com o R-quadrado, cabe em poucas linhas:
💡 Correlação e regressão em R
cor(hours, score)
fit <- lm(score ~ hours)
summary(fit)
# For simple linear regression, squared correlation equals R-squared
cor(hours, score)^2
summary(fit)$r.squared
